A matemática financeira é uma área da matemática que estuda diversos conceitos relacionados com os campos financeiro e comercial.Por esse motivo, conhecer suas aplicações é uma maneira de compreender diversos fenômenos atuais.Podemos citar os investimentos, ou mesmo, a realização de tarefas simples e cotidianas, como calcular o valor de desconto num determinado produto.
Porcentagem
A porcentagem (%) significa por cento, ou seja, ela trabalha com a razão entre números. Assim, ela pode ser demonstrada em números fracionários ou decimais.
Porcentagem
Aumentos e Descontos
Na porcentagem vamos trabalhar os conceitos de aumentos e descontos.
Quando dizemos que essa roupa está com 50% de desconto ou que a comida subiu 30%, estamos nos referindo a esses conceitos.
Para exemplificar vamos pensar que uma roupa que custava 120 reais está, nesse período do ano, com 50% de desconto.
Como já estamos familiarizados com esse conceito sabemos que esse número corresponde à metade do valor inicial.
Então, essa roupa no momento está com custo final de 60 reais. Vejamos assim, como trabalhar a porcentagem:
50% pode ser escrito 50/100 (ou seja, 50 por cem)
Assim, podemos concluir que 50% equivale a ½ ou 0,5, em número decimal. Mas afinal o que isso significa?
Bem, a roupa está com 50% de desconto e, portanto, ela custa metade (½ ou 0,5) de seu valor inicial. Logo, a metade de 120 é 60.
Mas vamos pensar noutro caso, em que ela está com 23% de desconto. Para tanto, temos que calcular quanto é 23/100 de 120 reais. Lógico que por aproximação podemos fazer esse cálculo. Mas aqui a ideia não é essa.
Logo,
Transformamos o número percentual em número fracionário e multiplicamos pelo número total que queremos identificar o desconto:
23/100 . 120/1 – dividindo o 100 e 120 por 2, temos:
23/50 . 60/1 = 1380/50 = 27,6 reais
Portanto, o desconto de 23% numa roupa que custa 120 reais será de 27,6. Assim, o valor que você irá pagar é de 92,4 reais.
Agora vamos pensar no conceito de aumento, ao invés de desconto. No exemplo acima temos que a comida subiu 30%. Para isso, vamos exemplificar que o preço do feijão que custava 8 reais teve um aumento de 30%.
Aqui temos que saber quanto é 30% de 8 reais. Da mesma forma que fizemos acima, vamos calcular a porcentagem e por fim, agregar o valor no preço final.
30/100 . 8/1 – dividindo o 100 e 8 por 2, temos:
30/50 . 4/1 = 120/50 = 2,4
Assim, podemos concluir que o feijão nesse caso está custando mais 2,40 reais. Ou seja, de 8 reais seu valor foi para 10,40 reais.
Variação Percentual
Outro conceito associado ao de porcentagem é o de variação percentual, ou seja, a variação das taxas percentuais de acréscimo ou decréscimo.
Exemplo
No início do mês, o preço do quilo da carne era de 25 reais. No final do mês a carne era vendida por 28 reais o quilo.
Assim, podemos concluir que houve uma variação percentual relacionada com o aumento desse produto. Podemos constatar que o aumento foi de 3 reais. Pela razão dos valores temos:
3/25 = 0,12 = 12%
Sendo assim, podemos concluir que a variação percentual do preço da carne foi de 12%.
Juros
Outro conceito muito importante utilizado na matemática comercial e financeira é o de juros. Pensemos numa situação comum, como o atraso do pagamento de uma conta.
Sabemos que quando isso acontece deveremos pagar o valor da conta mais os juros acrescidos. A taxa de juros corresponde a um x por cento pelo período de atraso.
O cálculo de juros pode ser simples, que ocorre quando os juros são constantes no período.
Já nos juros compostos, o valor tende a ser diferente em determinados períodos. Note que esse último é muito utilizado nas transações comerciais e financeiras.
Mas antes de adentrarmos aos conceitos e fórmulas para calcular esses tipos de juros, devemos conhecer alguns conceitos básicos:
Capital (C): valor inicial que pode ser de um investimento, dívida ou empréstimo.
Unidade Monetária (UM): corresponde às moedas, por exemplo, real, libra, euro, etc.
Taxa de Juros (i): ela pode ser ao dia, ao mês, ao ano, sendo expressa na forma percentual do período que corresponde.
Juros (J): expressos em unidades monetárias, representam o valor obtido quando aplicamos a taxa sobre o capital.
Montante (M): é o capital mais os juros acrescidos ao valor. Assim, M = C + J.
Juros Simples
Os juros simples são juros constantes em determinado período. Ele é calculado pela fórmula:
J = C . i . n
Onde:
C: capital aplicado
i: taxa de juros
n: período que corresponde os juros
Logo, o montante dessa aplicação será:
M = C + J
M = C + C . i . n
M = C . (1 + i . n)
Juros Compostos
Diferente dos juros simples, onde os valores são constantes no período, nos juros compostos eles são diferentes entre o primeiro, o segundo, o terceiro período.
Por isso, o sistema de juros compostos é chamado de capitalização acumulada.
Assim, ao final do primeiro período os juros que incidem sobre o capital inicial são incorporados, o que resulta no primeiro montante:
M1 = C + Ci
M1 = C (1 + i)
Por conseguinte, ao final do segundo período os juros irão incidir sobre o primeiro montante, gerando o segundo montante:
M2 = M1 + M1i = M1 (1+i)
M2 = C (1+i)2
Por fim, e seguindo essa lógica, ao final de terceiro período teremos:
M3 = M2 + M2i = M2 (1 + i)
M3 = C (1+i)3
Assim, podemos concluir que ao final do n-ésimo período podemos calcular o valor dos juros compostos pela fórmula:
Mn = C (1+i)n
Leia também: Regra de Três Simples e Composta.
Exercícios com Gabarito
1. (FGV) Suponha um título de R$ 500,00, cujo prazo de vencimento se encerra em 45 dias. Se a taxa de desconto “por fora” é de 1% ao mês, o valor do desconto simples será igual a
a) R$ 7,00.
b) R$ 7,50.
c) R$ 7,52.
d) R$ 10,00.
e) R$ 12,50.
Alternativa b: R$ 7,50.
2. (Vunesp) Um investidor aplicou a quantia de R$ 8.000,00 à taxa de juros compostos de 4% a.m.; o montante que esse capital irá gerar em 12 meses pode ser calculado por
a) M = 8000(1 + 12 x 4)
b) M = 8000(1 + 0,04)12
c) M = 8000(1 + 4)12
d) M = 8000 + 8000(1 + 0,04)12
e) M = 8000(1 + 12 x 0,04)
Alternativa b: M = 8000(1 + 0,04)12
3. (Cesgranrio) Um banco cobrou R$ 360,00 por seis meses de atraso em uma dívida de R$ 600,00. Qual a taxa de juros mensal cobrada por esse banco, calculada a juros simples?
a) 8%
b) 10%
c) 12%
d) 15%
e) 20%
Alternativa b: 10%
